Ein Satz über Drachenvierseite
Roland Stärk
Ein Drachenvierseit ist ein Vierseit, das symmetrisch ist bezüglich einer seiner Diagonalen (Fig.1). Die beiden andern Diagonalen, die Nebendiagonalen, stehen senkrecht auf der Symmetriediagonalen. Ein Drachenvierseit besitzt zwei alle Seiten berührende Kreise: einen In- und einen Ankreis.
Bekanntlich bilden alle Orthogonalkreise eines Kreispaares k1, k2 ein Büschel. Wenn k1 und k2 sich nicht schneiden, laufen ihre Orthogonalkreise durch zwei feste Punkte auf der Verbindung der Mittelpunkte von k1 und k2.
Hier soll zuerst gezeigt werden, dass bei einem Drachenvierseit gerade die Schnittpunkte Z1 und Z2 der Nebendiagonalen mit der Symmetriediagonalen die Orthogonalkreisbüschelpunkte des In/Ankreispaares sind (Fig.2).
Es genügt, für irgend einen der Orthogonalkreise nachzuweisen, dass er die Punkte Z1 und Z2 enthält. Es seien F1, F2 die Fusspunkte der Lote von den Kreismittelpunkten M1, M2 auf eine der Seiten des Vierseits, und E und D seien die Schnittpunkte der beiden Nebendiagonalen mit dieser. Wir betrachten den Thaleskreis über der Strecke F1F2. Mit Hilfe der Kreisvierecke F1EZ1M1 und F2M2Z1E lässt sich sofort zeigen, dass der Winkel F1Z1F2 , als Summe der Winkel F1Z1E und EZ1F2, ein rechter ist. Ebenso der Winkel F1Z2F2.
Weiter mit Fig.3.
Satz:
Es seien Z1 und Z2 die Diagonalenschnittpunkte eines Drachenvierseits, und p sei die Mittelsenkrechte von Z1Z2. Ein beliebiger Punkt P auf p wird mit Z1 und Z2 verbunden. Die Schnittpunkte der Geraden PZ1 und PZ2 mit den Seiten des Vierseits werden mit X1, X2, X3, X4 und Y1, Y2, Y3, Y4 bezeichnet, wobei die Numerierung sich nach der Reihenfolge der Seiten rund um den zugehörigen In/Ankreis - irgendwo beginnend - richtet.
Für die von P ausgehenden Strecken gilt dann:
PX1* PX3 = PX2* PX4 = PY1* PY3 = PY2* PY4 = PZ2
Den Beweis liefert der folgende Ausschnitt (Fig.4):
Es genügt, das Produkt PX1* PX3 zu untersuchen. D sei die Vierseitecke, bei der die Seiten zusammenlaufen, welche X1 und X3 enthalten, und H sei der Schnittpunkt der Geraden PZ1 mit der Nebendiagonalen durch D. Die Projektion der vier Punkte X1, X3, Z1 und H von D aus auf die andere Nebendiagonale zeigt, dass das Doppelverhältnis X1X3Z1H gleich –1 ist. Da der Winkel Z1Z2H ein rechter ist, folgt, dass der Winkel X3Z2Z1 gleich dem Winkel Z1Z2X1 ist. Und daraus folgt, unter Ausnützung der Gleichschenkligkeit des Dreiecks Z1PZ2, die Aehnlichkeit der Dreiecke PX1Z2 und PZ2X3.
Somit gilt PX1 : PZ2 = PZ2 : PX3, also PX1* PX3 = PZ2.
Nun denke man sich in der Fig. 3 noch den Kreis z eingezeichnet, der den Mittelpunkt P hat und durch Z1 und Z2 geht. Bei der Inversion an z gehen die Kreise k1 und k2 in sich über (z ist ja ein Orthogonalkreis), und die Seiten des Vierseits gehen in Kreise durch P über, welche k1 und k2 berühren. Nach unserem Satz geht z.B. X1 in X3 und Y2 in Y4 über, die Gerade X1Y2 also in den Umkreis des Dreiecks PX3Y4.
Merkt der geneigte Leser, dass wir auf einen berühmten Satz von Thébault zusteuern?
Noch eine kurze Zwischenbetrachtung: Bei einem Dreieck ABC schneidet der Kreis durch A und B, dessen Mittelpunkt P den der Ecke C gegenüberliegenden Umkreisbogen halbiert, die Winkelhalbierende CP im Inkreismittelpunkt, wie eine kurze Winkelberechnung sofort zeigt.
Schlussbetrachtung (Fig.5).
Die Gerade X1Y2 geht bei der Inversion an z, wie gesagt, in den Berührkreis u von k1 und k2 über, welcher durch P und X3 läuft. Ihre Schnittpunkte A und B mit z gehören auch zu u. Dieser Kreis ist somit der Umkreis des Dreiecks ABX3, und P ist die Mitte des Umkreisbogens. Es ist die Situation von oben: Z1 ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks.
Damit ist der Thébault’sche Satz (Victor Thébault 1882-1960) hier wieder einmal bewiesen - auf elementarste Weise, wie wir meinen -, der da lautet:
Bei einem Dreieck ABC, mit einem Punkt D auf der Seite AB, liegt der Inkreismittelpunkt auf der Geraden durch die Mittelpunkte der beiden Füllkreise, welche AB, CD und den Umkreis berühren.
2007-09-07
Dr. Roland Stärk, Im Santenbühl 3, CH-8234 Stetten
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